Определение траектории, скорости и ускорения точки при векторном способе задания движения. Вектор скорости и ускорения материальной точки и их модули

Формулы скорости (ускорения) точек твердого тела, выраженные через скорость (ускорение) полюса и угловую скорость (ускорение). Вывод этих формул из принципа, что расстояния между любыми точками тела, при его движении, остаются постоянными.

Основные формулы

Скорость и ускорение точки твердого тела с радиус вектором определяются по формулам:
;
.
где - угловая скорость вращения, - угловое ускорение. Они равны для всех точек тела и могут изменяться со временем t .
и - скорость и ускорение произвольным образом выбранной точки A с радиус вектором . Такую точку часто называют полюсом.
Здесь и далее, произведения векторов в квадратных скобках означают векторные произведения.

Вывод формулы для скорости

Выберем прямоугольную неподвижную систему координат Oxyz . Возьмем две произвольные точки твердого тела A и B . Пусть (x A , y A , z A ) и (x B , y B , z B ) - координаты этих точек. При движении твердого тела они являются функциями от времени t . Их производные по времени t являются проекциями скоростей точек:
, .

Воспользуемся тем, что при движении твердого тела, расстояние | AB| между точками остается постоянным, то есть не изменяется со временем t . Также постоянным является квадрат расстояния
.
Продифференцируем это уравнение по времени t , применяя правило дифференцирования сложной функции.

Сократим на 2 .
(1)

Введем векторы
,
.
Тогда уравнение (1) можно представить в виде скалярного произведения векторов:
(2) .
Отсюда следует, что вектор перпендикулярен вектору . Воспользуемся свойством векторного произведения. Тогда можно представить в виде:
(3) .
где - некоторый вектор, который мы вводим только для того, чтобы автоматически выполнялось условие (2) .
Запишем (3) в виде:
(4) ,

Теперь займемся изучением свойств вектора . Для этого составим уравнение, которое не содержит скоростей точек. Возьмем три произвольные точки твердого тела A, B и C . Запишем для каждой пары этих точек уравнение (4) :
;
;
.
Сложим эти уравнения:

.
Сокращаем сумму скоростей в левой и правой части. В результате получаем векторное уравнение, содержащее только исследуемые векторы :
(5) .

Легко заметить, что уравнение (5) имеет решение:
,
где - какой-то вектор, имеющий равное значение для любых пар точек твердого тела. Тогда уравнение (4) для скоростей точек тела примет вид:
(6) .

Теперь рассмотрим уравнение (5) с математической точки зрения . Если записать это векторное уравнение по компонентам на оси координат x, y, z , то векторное уравнение (5) является линейной системой, состоящей из 3-ех уравнений с 9-ю переменными:
ω BAx , ω BAy , ω BAz , ω CBx , ω CBy , ω CBz , ω ACx , ω ACy , ω ACz .
Если уравнения системы (5) линейно не зависимы, то их общее решение содержит 9 - 3 = 6 произвольных постоянных. Поэтому мы нашли не все решения. Существуют еще какие-то. Чтобы их найти замечаем, что найденное нами решение полностью определяет вектор скорости . Поэтому дополнительные решения не должны приводить к изменению скорости. Заметим, что векторное произведение двух равных векторов равно нулю. Тогда, если в (6) к вектору прибавить член, пропорциональный , то скорость не изменится:


.

Тогда общее решение системы (5) имеет вид:
;
;
,
где C BA , C CB , C AC - постоянные.

Выпишем общее решение системы (5) в явном виде.
ω BAx = ω x + C BA (x B - x A )
ω BAy = ω y + C BA (y B - y A )
ω BAz = ω z + C BA (z B - z A )
ω CBx = ω x + C CB (x C - x B )
ω CBy = ω y + C CB (y C - y B )
ω CBz = ω z + C CB (z C - z B )
ω ACx = ω x + C AC (x A - x C )
ω ACy = ω y + C AC (y A - y C )
ω ACz = ω z + C AC (z A - z C )
Это решение содержит 6 произвольных постоянных:
ω x , ω y , ω z , C BA , C CB , C AC .
Как и должно быть. Таким образом, мы нашли все члены общего решения системы (5) .

Физический смысл вектора ω

Как уже указывалось, члены вида не влияют на значения скоростей точек. Поэтому их можно опустить. Тогда скорости точек твердого тела связаны соотношением:
(6) .

Это вектор угловой скорости твердого тела

Выясним физический смысл вектора .
Для этого положим v A = 0 . Это всегда можно сделать если выбрать систему отсчета, которая в рассматриваемый момент времени движется относительно неподвижной системы со скоростью . Начало системы отсчета O поместим в точку A . Тогда r A = 0 . И формула (6) примет вид:
.
Ось z системы координат направим вдоль вектора .
По свойству векторного произведения, вектор скорости перпендикулярен векторам и . То есть он параллелен плоскости xy . Модуль вектора скорости:
v B = ω r B sin θ = ω |HB| ,
где θ - это угол между векторами и ,
|HB| - это длина перпендикуляра, опущенного из точки B на ось z .

Если вектор не меняется со временем, то точка B движется по окружности радиуса |HB| со скоростью
v B = |HB| ω .
То есть ω - это угловая скорость вращения точки B вокруг точки H .
Таким образом, мы приходим к выводу, что - это вектор мгновенной угловой скорости вращения твердого тела .

Скорость точек твердого тела

Итак, мы нашли, что скорость произвольной точки B твердого тела определяется по формуле:
(6) .
Она равна сумме двух членов. Точку A часто называют полюсом . В качестве полюса обычно выбирают неподвижную точку или точку, совершающую движение с известной скоростью. Второй член представляет собой скорость вращения точек тела относительно полюса A .

Поскольку точка B - это произвольная точка, то в формуле (6) можно сделать подстановку . Тогда и скорость точки твердого тела с радиус вектором определяются по формуле:
.
Скорость произвольной точки твердого тела равна сумме скорости поступательного движения полюса A и скорости вращательного движения относительно полюса A .

Ускорение точек твердого тела

Теперь выведем формулу для ускорения точек твердого тела. Ускорение - это производная скорости по времени. Дифференцируем формулу для скорости
,
применяя правила дифференцирования суммы и произведения:
.
Вводим ускорение точки A
;
и угловое ускорение тела
.
Далее замечаем, что
.
Тогда
.
Или
.

То есть вектор ускорения точек твердого тела можно представить в виде суммы трех векторов:
,
где
- ускорение произвольно выбранной точки, которую часто называют полюсом ;
- вращательное ускорение ;
- осестремительное ускорение .

Если угловая скорость изменяется только по величине и не изменяется по направлению, то векторы угловой скорости и ускорения направлены вдоль одной прямой. Тогда направление вращательного ускорения совпадает или противоположно направлению скорости точки. Если угловая скорость изменяется по направлению, то вращательное ускорение и скорость могут иметь разные направления.

Осестремительное ускорение всегда направлено в сторону мгновенной оси вращения так, что пересекает ее под прямым углом.

СПОСОБе ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

Определение скорости точки

Скорость - это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системеотсчета.

При векторном способе задания движения положение движущейся точки в каждый момент времени определяется радиусом-вектором , который является функцией времени . Пусть в момент времени t точка занимает положениеМ , определяемое радиусом-вектором , а в момент - положение M 1 , определяемое радиусом-век­тором (рис. 8.6). Из треугольника ОММ 1 ,

.

Рис. 8.6 Рис. 8.7

При перемещении точки ее радиуc-вектор получает приращение:

Из двух последних равенств следует, что вектор перемещения точки является приращением радиуса-вектора точки за промежу­ток времени t .

Отношение вектора перемещения к промежутку времени t ,втечение которого произошло это перемещение, представляет собой вектор средней скорости воображаемого движения точки по хорде ММ 1:

Направление вектора совпадает с направлением Δ . При умень­шении промежутка времени Δt и приближении его к нулю вектор Δ также стремится к нулю, а вектор - к некоторому пределу. Этот предел является вектором скорости точки в момент t :

.

Так как Δt - приращение скалярного аргумента t , а Δ - прираще­ние вектора-функции , то предел отношения при явля­ется векторной производной от по t :

Таким образом, вектор скорости точки в данный момент равен производной от радиуса-вектора точки по времени.

Вектор направлен по хорде MM 1 в сторону движения точки. Когда Δt стремится к нулю, точка M 1 стремится к точке М , т. е. предельным положением секущейMM 1 является касательная.

Из этого следует, что вектор скорости точки направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.

При движении точки по криволинейной траектории направление вектора скорости непрерывно изменяется (рис. 8.8).

Скорость точки при неравномерном криволинейном движении изменяется как по модулю, так и по направлению.

Отметим ряд положений движущейся точки на траектории M 1 , M 2 , M 3 , М 4 и покажем в этих положениях скорости точки (рис. 8.8,а).

Выбрав в пространстве некоторую неподвижную точку О 1 , отло­жим от этой точки векторы, геометрически равные скоростям (рис. 8.8,б). Если от точки О 1 отложить скорости, соответствующие всем поло­жениям точки М на кривой АВ, и соединить концы этих векторов, то получится линия CD, являющаяся годографом скорости.

Таким образом, годограф скорости представляет собой геометри­ческое место концов векторов скорости движущейся точки, отложен­ных от одной и той же произвольной точки пространства.

Изобразим на рис. 8.9, а траекторию точки АВ и ее скорость в произвольный момент времени t , а на рис. 8.9, б - годограф ско­рости CD этой точки.

Проведем через точку О 1 оси координат X, Y,Z, параллельные основным осямх,y,z. Тогда радиусом-вектором любой точки N годографа скорости CD будет скорость , а координаты точек годографа X, У, Z будут равны проекциям скорости на оси координат:

Эти уравнения являются параметрическими уравнениями годографа скорости .

Определение ускорения точки

При неравномерном криволинейном движении точки изменяются модуль и направление ее скорости. Ускорение точки характеризует быстроту изменения модуля и направления скорости точки.

Допустим, что в момент времени t точка занимает положение М и имеет скорость , а в момент времени она занимает положение M 1 и имеет скорость (рис. 8.10, а).

Найдем приращение вектора скорости за промежуток времени Δt . Для этого отложим от точки М скорость и построим при этой точке параллелограмм, одной из сторон которого будет скорость , а диагональю - скорость .

Тогда вторая сторона параллелограмма будет приращением вектора скорости , так как

.

Разделив приращение вектора скорости на промежуток времени Δt , получим вектор среднего ускорения точки за этот промежуток:

Этот вектор имеет направление и, следовательно, направлен в cторону вогнутости кривой. Построив годограф скорости CD (рис. 13,б), отложим там же скорости v и v 1 , приращение вектора скорости , а также вектор среднего ускорения , направленный по хорде NN 1 годографа ско­рости. Предел, к которому стремится вектор среднего ускорения , когда Δt стремится к нулю, является вектором ускорения точки α в данный момент времени t: находится в плоскости, проходящей через касательную к траектории точке М и прямую, параллельную касательной в точке М 1 (рис. 10,а). Предельное положение этой плоскости при стремлении точки M 1 к точке М называется соприкасающейся плоскостью.

Из этого следует, что вектор ускорения точки расположен в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.

Если кривая плоская, то соприкасающейся плоскостью является плоскость кривой и вектор ускорения лежит в этой плоскости.

Траектория движения материальной точки через радиус-вектор

Подзабыв этот раздел математики, в моей памяти уравнения движения материальной точки всегда представлялись при помощи знакомой всем нам зависимости y(x) , и взглянув на текст задачи, я немного опешил когда увидел векторы. Оказалось, что существует представление траектории материальной точки при помощи радиус-вектора — вектора, задающего положение точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

Формула траектория движения материальной точки помимо радиус-вектора описывается так же ортами — единичными векторами i, j , k в нашем случае совпадающими с осями системы координат. И, наконец, рассмотрим пример уравнения траектории материальной точки (в двумерном пространстве):

Что интересного в данном примере? Траектория движения точки задается синусами и косинусами, как вы думаете, как будет выглядеть график в всем нам знакомом представлении y(x) ? «Наверное какой-то жуткий», подумали вы, но все не так сложно как кажется! Попробуем построить траекторию движения материальной точки y(x), если она движется по представленному выше закону:

Здесь я заметил квадрат косинуса, если вы в каком-нибудь примере видите квадрат синуса или косинуса, это значит что нужно применять основное тригонометрическое тождество, что я и сделал (вторая формула) и преобразовал формулу координаты y , чтобы вместо синуса подставить в нее формулу изменения x :

В итоге жуткий закон движения точки оказался обычной параболой , ветви которой направлены вниз. Надеюсь, вы поняли примерный алгоритм построения зависимости y(x) из представления движения через радиус-вектор. Теперь перейдем к нашему главному вопросу: как же найти вектор скорости и ускорения материальной точки, а так же их модули.

Вектор скорости материальной точки

Всем известно, что скорость материальной точки — это величина пройденного пути точкой за единицу времени, то есть производная от формулы закона движения. Чтобы найти вектор скорости нужно взять производную по времени. Давайте рассмотрим конкретный пример нахождения вектора скорости.

Пример нахождения вектора скорости

Имеем закон перемещения материальной точки:

Теперь нужно взять производную от этого многочлена, если вы забыли как это делается, то вот вам . В итоге вектор скорости будет иметь следующий вид:

Все оказалось проще, чем вы думали, теперь найдем вектор ускорения материальной точки по тому же самому закону, представленному выше.

Как найти вектор ускорения материальной точки

Вектор ускорения точки это векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки. Чтобы найти вектор ускорения материальной точки в нашем примере, нужно взять производную, но уже от формулы вектора скорости, представленной чуть выше:

Модуль вектора скорости точки

Теперь найдем модуль вектора скорости материальной точки. Как вы знаете из 9-го класса, модуль вектора — это его длина, в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. И откуда же из полученного нами выше вектора скорости взять его координаты спросите вы? Все очень просто:

Теперь достаточно только подставить время, указанное в задаче и получить конкретное числовое значение.

Модуль вектора ускорения

Как вы поняли из написанного выше (и из 9-го класса), нахождение модуля вектора ускорения происходит тем же образом, что и модуля вектора скорости: извлекаем корень квадратный из суммы квадратов координат вектора, все просто! Ну и вот вам, конечно же, пример:

Как вы видите, ускорение материальной точки по заданному выше закону не зависит от времени и имеет постоянную величину и направление.

Еще примеры решений задачи нахождения вектора скорости и ускорения

А вот тут вы можете найти примеры решения и других задач по физике . А для тех, кто не совсем понял как найти вектор скорости и ускорения, вот вам еще парочка примеров из сети без всяких лишних объяснений, надеюсь, они вам помогут.

Если у вас возникли какие-нибудь вопросы, вы можете задать их в комментариях.

Найдем, как вычисляются скорость и ускорение точки, если движение задано уравнениями (3) или (4). Вопрос об определении траектории в этом случае был уже рассмотрен в § 37.

Формулы (8) и (10), определяющие значения v и а, содержат производные по времени от векторов . В равенствах, содержащих производные от векторов, переход к зависимостям между проекциями осуществляется с помощью следующей теоремы: проекция производной от вектора на ось, неподвижную в данной системе отсчета, равна производной от проекции дифференцируемого вектора на ту же ось, т. е.

1. Определение скорости точки. Вектор скорости точки Отсюда на основании формул (И), учитывая, что найдем:

где точка над буквой есть символ дифференцирования по времени. Таким образом, проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат течки по времени.

Зная проекции скорости, найдем ее модуль и направление (т. е. углы , которые вектор v образует с координатными осями) по формулам

2. Определение ускорения точки. Вектор ускорения точки Отсюда на основании формул (11) получаем:

т. e. проекции ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направление ускорения найдутся из формул

где - углы, образуемые вектором ускорения с коорди осями.

Итак, если движение точки задано в декартовых прямоугольных координатах уравнениями (3) или (4), то скорость точки определяется по формулам (12) и (13), а ускорение - по формулам (14) и (15). При этом в случае движения, происходящего в одной плоскости, во всех формулах должна быть отброшена проекция на ось

Пусть движение точки М задано векторным способом, то есть задан радиус-вектор точки как функция времени

Линия, описываемая концом переменного вектора, начало которого находится в заданной неподвижной точке, называется годографом этого вектора. Отсюда и из определения траектории следует правило: траектория точки есть годограф ее радиуса-вектора.

Пусть в некоторый момент t точка занимает положение М и имеет радиус-вектор , а в момент - положение и радиус-вектор (рис. 78).

Вектор , соединяющий последовательные положения точки в указанные

моменты, называется вектором перемещения точки за время . Вектор перемещения следующим образом выражается через значения вектор-функции (5):

Если вектор перемещения поделить на величину промежутка , получим вектор средней скорости точки за время

Будем теперь уменьшать промежуток , устремляя его к нулю. Предел, к которому стремится вектор средней скорости при неограниченном уменьшении промежутка , называется скоростью точки в момент t или просто скоростью точки 0. В соответствии со сказанным для скорости получаем:

Итак, вектор скорости точки равен производной по времени от ее радиуса-вектора:

Поскольку секущая в пределе (при ) переходит в касательную , приходим к выводу, что вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.

В общем случае скорость точки также переменна, и можно интересоваться быстротой изменения скорости. Скорость изменения скорости называется ускорением точки.

Для определения ускорения а выберем какую-либо неподвижную точку А и будем откладывать из нее вектор скорости и в различные моменты времени.

Линия, которую опишет конец N вектора скорости, представляет собой годограф скорости (рис. 79). Изменение вектора скорости выражается в том, что геометрическая точка N движется по годографу скорости, а скорость этого движения служит, по определению, ускорением точки М.